已知函數(shù)g(x)=
1
3
ax3+2x2-2x，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的導函數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實數(shù)a的范圍內(nèi)，若存在一個與a有關的負數(shù)M，使得對任意x∈[M，0]時|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相應的a值．
（1）當a=1時，g（x）=
1
3
x3+2x2-2x，g′（x）=x2+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-
6
＜x＜-2+
6
        …（2分）
∴當a=1時函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為 （-2-
6
，2+
6
）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x2+4x-2
依題意知  f(
x1+x2
2
)-
f(x1)+f(x2)
2
=a（
x1+x2
2
）2+4×
x1+x2
2
-2-
a
x21
+4x1-2+a
x22
+4x2-2
2

=-
a
4
（x1-x2）2＜0 …（5分）
因為x1≠x2，所以a＞0，即實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax2+4x-2=a（x+
2
a
）2-2-
4
a
，a＞0．
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對稱軸x=-
2
a
＜0    …（7分）
①當-2-
4
a
＜-4即0＜a＜2時，M∈（-
2
a
，0）且f（M）=-4
令ax2+4x-2=-4解得  x=
-2±
4-2a
a
        …（8分）
此時M取較大的根，即M=
-2+
4-2a
a
=
-2
4-2a
+2
…（9分）
∵0＜a＜2，∴M=
-2+
4-2a
a
=
-2
4-2a
+2
＞-1     …（10分）
②當-2-
4
a
≥-4即a≥2時，M＜-
2
a
且f（M）=4
令ax2+4x-2=4解得 x=
-2±
4+6a
a
            …（11分）
此時M取較小的根，即 M=
-2±
4+6a
a
=
-6
4+6a
-2
…（12分）
∵a≥2，∴M=
-2±
4+6a
a
=
-6
4+6a
-2
≥-3當且僅當a=2時取等號  …（13分）
由于-3＜-1，所以當a=2時，M取得最小值-3  …（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=1-cos(πx+2φ)(0＜φ＜
π
2
)的圖象過點(
1
2
，  2)，若有4個不同的正數(shù)xi滿足g（xi）=M（0＜M＜1），且xi＜4（i=1，2，3，4），則x1+x2+x3+x4等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=
1-x21+x2
(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域為A，定義在A上的函數(shù)f（x）=x-2-x2（x∈A）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=
1-2x1+2x
．判斷并證明函數(shù)g（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…+
x2013
2013
，則函數(shù)g（x+3）的零點所在的區(qū)間為（　�。�
A、（-1，0）
B、（-4，-3）
C、（-3，-2）或（-2，-1）
D、（1，2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=
-1，x＞0
0，x=0
1，x＜0
，函數(shù)f（x）=x2?g（x），則滿足不等式f（a-2）+f（a2）＞0的實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（-2，1）
B、（-1，2）
C、（-∞，-2）∪（1，+∞）
D、（-∞，-1）∪（2，+∞）

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