Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），則下列結(jié)論中不正確的是（　　）

• A、對任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
• B、函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）
• C、對任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
• D、方程f（x）-x=0則R上有三個根

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由函數(shù)的奇偶性定義判斷A；先求出x≥0時的值域，再由奇偶性求出函數(shù)的值域判斷B；由函數(shù)的單調(diào)性判斷C；求解方程f（x）-x=0的根判斷D．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
對任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=

-x+x

1+|x|

=0，A正確；
當(dāng)x=0時，f（0）=0．當(dāng)x＞0時，0＜f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1 x +1

＜1，
又函數(shù)為奇函數(shù)，∴值域為（-1，1），B正確；
當(dāng)x＞0時f（x）=

x

1+|x|

=

x

1+x

=

1

1 x +1

為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）為增函數(shù)，
則對任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），C正確；
當(dāng)x＞0時，f（x）-x=

x

1+|x|

-x=

x

1+x

-x=0，即

-x2

2

=0，x無解，
∴方程f（x）-x=0在R上有一個實根，D錯誤．
故選：D．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．