Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性
（1）f（x）=|x+1|+|x-1|
（2）f（x）=

2x2+2x

x+1

（3）f（x）=

1-x2

+

x2-1

（4）f（x）=

1-x2

2-|x+2|

（5）f（x）=（x-1）

1+x 1-x

（6）f（x）=

x+3 0 -x+3

，

x＜-1 |x|≤1 x＞1

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：按照函數(shù)的奇偶性的判斷，首先求出函數(shù)的定義域，然后判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)稱，再利用奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；如果不對(duì)稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)．

解答： 解：（1）定義域?yàn)镽，∵f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）定義域?yàn)閧x|x≠-1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（3）定義域?yàn)閧-1，1}，所以f（x）=0，∴f（x）為既奇又偶函數(shù)；
（4）定義域?yàn)閧x|-1≤x≤1，x≠0}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且f(x)=

1-x2

-x

，
∵f(-x)=

1-x2

x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（5）定義域?yàn)閧x|-1≤x＜1}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（6）定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜-1時(shí)，∵-x＞1，∴f（-x）=-（-x）+3=x+3=f（x）；
當(dāng)x＞1時(shí)，∵-x＜-1，∴f（-x）=-x+3=f（x）；
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（-x）=f（x）=0，
∴f（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷；要判斷函數(shù)的奇偶性，必須首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不對(duì)稱，則函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．