((本小題滿分12分)
如圖,已知在直四棱柱
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106316487.gif)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106332326.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106347327.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106363669.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106378207.gif)
.
(1)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106394263.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106410336.gif)
;
(2)求二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106425457.gif)
的余弦值.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231731064412379.gif)
解法一:
(1)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106441204.gif)
是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106472246.gif)
的中點(diǎn),連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106488241.gif)
,則四邊形
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106503309.gif)
為正方形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106519351.gif)
.故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106534331.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106550322.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106566285.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106581392.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106597334.gif)
.
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106612347.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106644429.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106659278.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106675326.gif)
,…………6分
(2)由(I)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106394263.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106675326.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317310673765.gif)
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106768282.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106675326.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106800365.gif)
,
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106815242.gif)
的中點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106846200.gif)
, 連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106862352.gif)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106878348.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106909455.gif)
.
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106924262.gif)
的中點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106940327.gif)
,連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106971361.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106987504.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107018473.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107034449.gif)
為二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106425457.gif)
的平面角.
連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107080381.gif)
,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107096449.gif)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107127518.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231731071431006.gif)
,
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107158266.gif)
的中點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107190206.gif)
,連結(jié)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107205261.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107221368.gif)
,
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107236526.gif)
中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107268358.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107283406.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107314474.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231731073302011.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107346128.gif)
二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106425457.gif)
的余弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107377268.gif)
.…………………………12分
解法二:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231731073922656.gif)
(1)以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107424210.gif)
為原點(diǎn),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107439427.gif)
所在直線分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107455187.gif)
軸,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107486193.gif)
軸,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107502129.gif)
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107517359.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107533346.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107564474.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107580468.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107595350.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107626349.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107642411.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107658412.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107689439.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107704677.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107720616.gif)
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106644429.gif" style="vertical-align:middle;" /> 所以,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106394263.gif)
平
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317310778272.gif)
面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106410336.gif)
.…6分
(2)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107829463.gif)
為平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107860298.gif)
的一個(gè)法向量.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107876433.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317310789272.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107923317.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107938448.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107642411.gif)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107985615.gif)
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108001215.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108016461.gif)
.
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108048552.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173107642411.gif)
,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108094499.gif)
為平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108126292.gif)
的一個(gè)法向量,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108141446.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108157325.gif)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108188675.gif)
取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108219227.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108235464.gif)
,
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108250207.gif)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108282199.gif)
的夾角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108313201.gif)
,二面角
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173106425457.gif)
為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108344200.gif)
,顯然
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173108344200.gif)
為銳角,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231731083911162.gif)
.…………12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
. (本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,已知AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317323617273.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173236235233.gif)
,∠APB=∠ADB=60°
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231732362503604.jpg)
(Ⅰ)證明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)求PH與平面PAD所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB,PD的中點(diǎn).
(1)求證:AF//平面PCE;
(2)若PA=AD且AD=2,CD=3,求P—CE—A的正切值.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231729186291824.gif)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171746799857.jpg)
中,AC=BC=1,
AAi="3"
D為
CCi上的點(diǎn),二面角A-A1B-D的余弦值為![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171746908642.jpg)
(I )求證:CD=2;
(II)求點(diǎn)A到平面A
1BD的距離.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231717469245872.jpg)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174543131248.gif)
平面CDE
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231745431472671.jpg)
(I)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174543178254.gif)
平面ADE;
(II)在線段BE上存在點(diǎn)M,使得直線M與平面EAD所成角的正弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174543194276.gif)
,試確定點(diǎn)M的位置。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐P—ABCD的底面為矩形,PA=AD=1,PA⊥面ABCD,E是AB的中點(diǎn),F(xiàn)為PC上一點(diǎn),且EF//面PAD。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231737228547941.gif)
(I)證明:F為PC的中點(diǎn);
(II)若二面角C—PD—E的平面角的余弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173722869287.gif)
求直線ED與平面PCD所成的角
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(本題12分)
在長(zhǎng)方體
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231733501481217.gif)
的中點(diǎn)。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231733501631990.gif)
(1)求直線
(2)作
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173350210791.gif)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
如圖,在四棱錐
V-
ABCD中,底面
ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823173015959170.gif)
的等腰三角形,則二面角
V―
AB―
C的度數(shù)是
。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231730159902396.gif)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
如圖,正
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172646981400.gif)
的中線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172646997232.gif)
與中位線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647012240.gif)
相交
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647044213.gif)
,
已知
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是
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繞
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旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)
圖形(
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不與
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重合).現(xiàn)給出下列四個(gè)命題:
①動(dòng)點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647106208.gif)
在平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647153268.gif)
上的射影在線段
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172646997232.gif)
上;
②平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647200296.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647215312.gif)
;
③三棱錐
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的體積有最大值;
④異面直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172647262346.gif)
與
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不可能垂直.其中正確的命題的序號(hào)是_________.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231726472931175.gif)
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