Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱平面， 為等腰直角三角形， ，且， 分別是的中點.

(1)若是的中點，求證： 平面；

(2)若是線段上的任意一點，求直線與平面所成角正弦的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 當時， .

【解析】試題分析：

本題考查線面平行的判定和利用空間向量求直線和平面所成的角.（1）先證和，從而得到平面平面，故可得平面.（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為.設設，且，求得點M的坐標后可得.利用線面角的公式得到所求線面角的正弦值，根據二次函數的最值求解.

試題解析：

(1)連接， ，

∵分別是的中點，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

所以.

因為分別是的中點，

所以，

又，

所以平面平面，

又平面，

所以平面.

(2)由題意得兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ， ，

∴， .

設平面的法向量為，

由，得，

令，得， ，

所以平面的一個法向量為.

設，且，

所以，得， ， ，

所以點，

所以.

設直線與平面所成角為，

則

∴當時， .

所以直線與平面所成角正弦的最大值為.