Question

已知P是直線l：3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓C：x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點．
（1）求四邊形PACB面積的最小值；
（2）直線l上是否存在點P，使∠BPA=60°？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由圓C的標準方程可得圓心為（1，1），半徑為1，由于四邊形PACB面積等于2×

1

2

PA×AC=PA，而PA=

PC2-1

，故當PC最小時，四邊形PACB面積最小，又PC的最小值等于圓心C到直線l的距離d，求出d 即可得到四邊形PACB面積的最小值；
（2）假設存在一點使∠BPA=60°，此時∠CPA=30，根據(jù)直角三角形性質可知，圓心到直線上P（x，y）點距離為半徑2倍，也就是2，可見它小于圓心到直線的最短距離3，可得結論．

解答： 解：圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，即（x-1）²+（y-1）²=1，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓．
由于四邊形PACB面積等于2×

1

2

PA×AC=PA，而PA=

PC2-1

，
故當PC最小時，四邊形PACB面積最�。�
又PC的最小值等于圓心C到直線l：3x+4y+8=0 的距離d，而d=

|3++8|

9+16

=3，
故四邊形PACB面積的最小的最小值為

9-1

=2

2

；
（2）假設存在一點使∠BPA=60°，此時∠CPA=30，根據(jù)直角三角形性質可知，圓心到直線上P（x，y）點距離為半徑2倍，也就是2，可見它小于圓心到直線的最短距離3，因此該點不存在．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，判斷故當PC最小時，四邊形PACB面積最小，是解題的關鍵．