Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn)．

(1)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；

(2)如果·＝－4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

解：(1)由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)，

設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4＝0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，

y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)證明：設(shè)l：x＝ty＋b代入拋物線y2＝4x，消去x得

y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.

∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)．

∴若·＝－4，則直線l必過(guò)一定點(diǎn)(2,0)．