Question

數(shù)列{a_n}中，已知，，且，，…，a_n+1-是公比為的等比數(shù)列．
（1）求證數(shù)列，，…，是公比為的等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）問(wèn)是否存在除，以外的實(shí)數(shù)k，使得數(shù)列{a_n+1-ka_n}成等比數(shù)列．

Answer 1

解：（1）由題意可得：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/71331.png' />，，
所以，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/195782.png' />，，…，a_n+1-是公比為的等比數(shù)列，
所以
所以
=，
所以數(shù)列，，…，是公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得：，又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/486142.png' />，
所以兩式相減得，
所以，
所以．
（3）假設(shè)存在這樣的k，k≠
則有
所以，
即 解得：，
所以不存在除，以外的實(shí)數(shù)k使得數(shù)列{a_n+1-ka_n}成等比數(shù)列．
分析：（1）由題意可得：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/71331.png' />，，所以，根據(jù)題意可得：，進(jìn)而達(dá)到=，即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得：，所以．
（3）假設(shè)存在這樣的k，k≠，可得，令a_n+2-ka_n+1=qa_n+1-qka_n，即解得：，進(jìn)而達(dá)到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的判定，此題屬于難題．