Question

已知函數(shù)f（x）=

1-m•2x

1+m•2x

，若函數(shù)f（x）滿足|f（x）|≤3對任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令2^x=t，換元得f（t）=

1-mt

1+mt

，然后由題意|f（x）|≤3得|

1-mt

1+mt

|≤3，化簡求出m的范圍．

解答： 解；令2^x=t，x∈[0，1]，則t∈[1，2]，則f（t）=

1-mt

1+mt

，
由題意|f（x）|≤3得|

1-mt

1+mt

|≤3，化簡如下：
|1-

2mt

1+mt

|≤3，
|

2mt

1+mt

-1|≤3，
-3≤

2mt

1+mt

-1≤3，
-2≤

2mt

1+mt

≤4，
-1≤

mt

1+mt

≤2，
-1≤1-

1

mt+1

≤2，
-2≤-

1

mt+1

≤1，
-1≤

1

mt+1

≤2，
mt+1≠0則-1≤mt+1＜0或0＜mt+1≤

1

2

，
即

-2

t

≤m＜

-1

t

，或

-1

t

＜m≤

1

-2t

，
又t∈[1，2]，
∴-2≤m≤-1．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，首先是對函數(shù)的化簡，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值處理．