Question

已知函數的圖象經過原點，且關于點（-1，1）成中心對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，，求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設數列{a_n}的前n項和為S_n，試判斷S_n與2的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以．由函數圖象關于點（-1，1）成中心對稱，可求a
（2）因為，且a_n＞0，整理可得．從而得到數列是等差數列，可求
（3）由n≥2時，，從而放縮結合裂項求和即可求
解答：解：（1）因為函數的圖象經過原點，
所以f（0）=0，即b=0．所以．
因為函數的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，
所以a=1．所以．
（2）因為，且a_n＞0，
所以，即，即．
所以數列是首項為，公差為1的等差數列．
所以，所以（n∈N^*）．
（3）當n=1時，S₁=a₁=1＜2；
當n≥2時，，
所以．
綜上所述，S_n＜2（n∈N^*）．
點評：本題以函數中由函數的性質求解函數解析式為載體，重點考查了利用構造特殊數列（等差、等比）求解數列的通項公式，及裂項求和，要注意放縮法在解題中的應用．