Question

已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且關(guān)于點（-1，1）成中心對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試判斷S_n與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以．由函數(shù)圖象關(guān)于點（-1，1）成中心對稱，可求a
（2）因為，且a_n＞0，整理可得．從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，可求
（3）由n≥2時，，從而放縮結(jié)合裂項求和即可求
解答：解：（1）因為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，
所以f（0）=0，即b=0．所以．
因為函數(shù)的圖象關(guān)于點（-1，1）成中心對稱，
所以a=1．所以．
（2）因為，且a_n＞0，
所以，即，即．
所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
所以，所以（n∈N^*）．
（3）當(dāng)n=1時，S₁=a₁=1＜2；
當(dāng)n≥2時，，
所以．
綜上所述，S_n＜2（n∈N^*）．
點評：本題以函數(shù)中由函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式為載體，重點考查了利用構(gòu)造特殊數(shù)列（等差、等比）求解數(shù)列的通項公式，及裂項求和，要注意放縮法在解題中的應(yīng)用．