Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前4項的和為20，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）設(shè)b_n=n•2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n；
（3）在第（2）問的基礎(chǔ)上，是否存在n（n∈N^*）使得S_n=1440成立？若存在，求出所有解；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用方程組法，可以求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）由b_n=n•2^a_n，利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項的和S_n；
（3）利用（2）的結(jié)論，代入計算，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)公差為d，則
∵等差數(shù)列{a_n}的前4項的和為20，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴

4a1+6d=20 (a1+d)2=a1(a1+3d)

，
∴a₁=d=2，
∴a_n=2n；
（2）b_n=n•2^a_n=n•2²ⁿ=n•4ⁿ，
∴S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，
∴4S_n=1•4²+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-3S_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹，
∴S_n=

n

3

×4n+1-

4

9

(4n-1)；
（3）S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ=

n

3

×4n+1-

4

9

(4n-1)，
則S₄=1256，S₅＞1440，
故不存在n（n∈N^*）使得S_n=1440成立．

點評：方程組法是解決數(shù)列通項問題的基本方法，求數(shù)列的和應(yīng)該根據(jù)數(shù)列通項的特點選擇正確方法．