Question

給出四個等式：
1=1
1-4=-（1+2）
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-（1+2+3+4）
…
（1）寫出第5，6個等式，并猜測第n（n∈N^*）個等式；
（2）用數(shù)學歸納法證明你猜測的等式．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）本題考查歸納推理，解題時要認真分析題意中的等式，發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，注意驗證即可；
（2）根據(jù)數(shù)學歸納法證明步驟即可證明．

解答： 解：（1）第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）
第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）
第n行等式為：
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）
（2）證明：①當n=1時，左邊=1²=1，
右邊=（-1）⁰×

1×(1+1)

2

=1，左邊=右邊，等式成立．--------------------（8分）
②假設n=k（k∈N^*）時，等式成立，即1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．
則當n=k+1時，
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1k²+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k（k+1）•[（k+1）-

k

2

]
=（-1）^k•

(k+1)[(k+1)+1]

2

．
∴當n=k+1時，等式也成立
根據(jù)①②可知，對于任何n∈N^*等式均成立．--------------------------（12分）

點評：用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關鍵是利用第二步假設中結論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．