Question

過(guò)雙曲線x²-y²=1的右焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的離心率和漸近線；
（2）求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）雙曲線x²-y²=1中a=b=1，c=

2

，可得雙曲線的離心率和漸近線；
（2）確定AB的方程，代入雙曲線x²-y²=1的方程化簡(jiǎn)可得2x²+6

2

x-7=0，即可求|AB|．

解答： 解：（1）雙曲線x²-y²=1中a=b=1，∴c=

2

，
∴e=

2

，y=±x
（2）AB的斜率為tan60°=

3

，又雙曲線x²-y²=1的右焦點(diǎn)F（

2

，0），
故AB的方程為y-0=

3

（x-

2

），代入雙曲線x²-y²=1的方程化簡(jiǎn)可得2x²+6

2

x-7=0，
∴x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=-

7

2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

18+14

=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．