【題目】已知f(x)=lnx,g(x)= +mx+ (m<0),直線l與函數(shù)f(x)的圖象相切,切點的橫坐標為1,且直線l與函數(shù)g(x)的圖象也相切.
(1)求直線l的方程及實數(shù)m的值;
(2)若h(x)=f(x+1)﹣g′(x)(其中g′(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的最大值;
(3)當0<b<a時,求證:f(a+b)﹣f(2a)< .
【答案】
(1)解:∵ ,∴f'(1)=1.
∴直線l的斜率為1,且與函數(shù)f(x)的圖象的切點坐標為(1,0).
∴直線l的方程為y=x﹣1.
又∵直線l與函數(shù)y=g(x)的圖象相切,
∴方程組 有一解.
由上述方程消去y,并整理得x2+2(m﹣1)x+9=0①
依題意,方程①有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=[2(m﹣1)]2﹣4×9=0
解之,得m=4或m=﹣2
∵m<0,∴m=﹣2.
(2)解:由(1)可知 ,
∴g'(x)=x﹣2∴h(x)=ln(x+1)﹣x+2(x>﹣1).
∴ .(7分)
∴當x∈(﹣1,0)時,h'(x)>0,當x∈(0,+∞)時,h'(x)<0.
∴當x=0時,h(x)取最大值,其最大值為2
(3)解:f(a+b)﹣f(2a)=ln(a+b)﹣ln2a=ln =ln(1+ ).
∵0<b<a,∴﹣a,∴ .
由(2)知當x∈(﹣1,0)時,h(x)<h(0)∴當x∈(﹣1,0)時,ln(1+x)<x,
ln(1+ )< .∴f(a+b)﹣f(2a)<
【解析】(1)先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導數(shù),得到切線的斜率,再利用點斜式方程求出切線方程,最后將切線方程與 聯(lián)立方程組,使方程組只有一解,利用判別式建立等量關系,求出m即可;(2)先求出h(x)的解析式,根據(jù)極值與最值的求解方法,將f(x)的各極值與其端點的函數(shù)值比較,其中最大的一個就是最大值;(3)f(a+b)﹣f(2a)=ln(a+b)﹣ln2a=ln =ln(1+ ).由(2)知當x∈(﹣1,0)時,h(x)<h(0)由ln(1+x)<x,
ln(1+ )< 即可得出f(a+b)﹣f(2a)< .
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)和不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值;不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學歸納法等.
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【題目】設f(x)=﹣ x3+ x2+2ax.
(1)若f(x)在( ,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為﹣ ,求f(x)在該區(qū)間的最大值.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.(其中是自然對數(shù)的底數(shù))
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,橢圓, 為橢圓的右頂點,過原點且異于軸的直線與橢圓交于兩點, 在軸的上方,直線與圓的另一交點為,直線與圓的另一交點為,
(1)若,求直線的斜率;
(2)設與的面積分別為,求的最大值.
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【題目】數(shù)列{an}滿足:a1= ,前n項和Sn= an ,
(1)寫出a2 , a3 , a4;
(2)猜出an的表達式,并用數(shù)學歸納法證明.
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【題目】已知不過第二象限的直線l:ax﹣y﹣4=0與圓x2+(y﹣1)2=5相切.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l1過點(3,﹣1)且與直線l平行,直線l2與直線l1關于直線y=1對稱,求直線l2的方程.
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【題目】如圖所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,F(xiàn)D⊥底面ABCD,M是AB的中點.
(1)求證:平面CFM⊥平面BDF;
(2)點N在CE上,EC=2,F(xiàn)D=3,當CN為何值時,MN∥平面BEF.
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【題目】設f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對x∈R,都有f(x﹣2)=f(x+2),且當x∈[﹣2,0]時,f(x)=( )x﹣1,若在區(qū)間(﹣2,6]內(nèi)關于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根,則a的取值范圍是( )
A.(2,3)
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若實數(shù)t滿足f(log2t)+f(log2 )<2f(2),求f(t)的取值范圍.
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