Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)于任意的正整數(shù)m，n都有a_m+n=a_ma_n+a_m+a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為________．

Answer 1

2ⁿ-1
分析：先根據(jù)條件得到a_n+1=a_na₁+a_n+a₁=2a_n+1；進(jìn)而得到數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；即可求出答案．
解答：因?yàn)閿?shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)于任意的正整數(shù)m，n都有a_m+n=a_ma_n+a_m+a_n，
∴a_n+1=a_na₁+a_n+a₁=2a_n+1；
∴a_n+1+1=2（a_n+1）；
∴=2；
故數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ-1．
故答案為； 2ⁿ-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運(yùn)用．