Question

【題目】已知橢圓，過點(diǎn)作橢圓C的切線l，在第一象限的切點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作與直線l傾斜角互補(bǔ)的直線，恰好經(jīng)過橢圓C的下頂點(diǎn)N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，則直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用相切得到根的判別式為0，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線傾斜角之間的關(guān)系，得到b的值，從而得橢圓C的方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出，，可得，及坐標(biāo)，寫出直線的方程，化簡，根據(jù)方程的特點(diǎn)，即得過定點(diǎn).

解：（1）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，化簡整理得，（*）

，得，

所以方程（*）可化為，可得切點(diǎn).

，由已知，

所以，即，得，

所以橢圓C的方程為.

（2）由（1）知，

設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，化簡整理得，

設(shè)，，則，.

由，可得，則

的方程為，

即

，

所以當(dāng)時(shí)，，即過定點(diǎn).

拓展結(jié)論：

圓上點(diǎn)處的切線方程為，而若點(diǎn)在圓外，則直線方程的幾何含義是過點(diǎn)所作圓的兩條切線的切點(diǎn)連線的方程；由此類比：橢圓上點(diǎn)處的切線方程為，而若點(diǎn)在橢圓外，則方程的幾何含義是過點(diǎn)所作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)連線的方程；拋物線上點(diǎn)處的切線方程為，而若點(diǎn)在拋物線外，則直線方程的幾何含義是過點(diǎn)所作拋物線的兩條切線的切點(diǎn)連線的方程.