【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側棱底面, 垂直于和,為棱上的點,,.
(1)若為棱的中點,求證://平面;
(2)當時,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設點是線段上的動點,與平面所成的角為,求當取最大值時點的位置.
【答案】(1)見解析;(2);(3)即點N在線段CD上且
【解析】
(1)取線段SC的中點E,連接ME,ED.可證是平行四邊形,從而有,則可得線面平行;
(2)以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,求出兩平面與平面的法向量,由法向量夾角的余弦值可得二面角的余弦值;
(3)設,其中,求出,由MN與平面所成角的正弦值為與平面的法向量夾角余弦值的絕對值可求得結論.
(1)證明:取線段SC的中點E,連接ME,ED.
在中,ME為中位線,∴且,
∵且,∴且,
∴四邊形AMED為平行四邊形.
∴.
∵平面SCD,平面SCD,
∴平面SCD.
(2)解:如圖所示以點A為坐標原點,建立分別以AD、AB、AS所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則,,,,,
由條件得M為線段SB近B點的三等分點.
于是,即,
設平面AMC的一個法向量為,則,
將坐標代入并取,得.
另外易知平面SAB的一個法向量為,
所以平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦為.
(3)設,其中.
由于,所以.
所以,
可知當,即時分母有最小值,此時有最大值,
此時,,即點N在線段CD上且.
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【題目】如圖所示,三棱柱的側棱垂直于底面,且底面是邊長為2的正三角形,,點D,E,F分別是所在棱的中點.
(1)在線段上找一點使得平面∥平面,給出點的位置并證明你的結論;
(2)在(1)的條件下,求二面角的余弦值.
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【題目】三國時期著名的數學家劉徽對推導特殊數列的求和公式很感興趣,創(chuàng)造并發(fā)展了許多算法,展現了聰明才智.他在《九章算術》“盈不足”章的第19題的注文中給出了一個特殊數列的求和公式.這個題的大意是:一匹良馬和一匹駑馬由長安出發(fā)至齊地,長安與齊地相距3000里(1里=500米),良馬第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.駑馬第一天走97里,以后每天比前一天少走半里.良馬先到齊地后,馬上返回長安迎駑馬,問兩匹馬在第幾天相遇( )
A. 14天B. 15天C. 16天D. 17天
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【題目】定義為個正數、、、的“均倒數”.已知正項數列的前項的“均倒數”為.
(1)求數列的通項公式;
(2)設數列的前項和為,若對一切恒成立,試求實數的取值范圍;
(3)令,問:是否存在正整數使得對一切恒成立,如存在,求出值,否則說明理由.
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【題目】大氣污染是我國目前最突出的環(huán)境問題之一,其中工廠廢氣是大氣污染的重大污染源之一。工廠廢氣未經凈化處理排放至空氣中,除了對空氣質量造成嚴重破壞,還會對人體的健康造成重大威脅。長期生活在污染的空氣中,生活質量及身體健康將急劇下降。某工廠因為污染問題需改進技術,2019年初購進一臺環(huán)保新機器投入生產,機器的成本價為36萬元,第年該機器包括維修費和機器護理費用在內,每年另需投人費用萬元,購進該機器后每年盈利20萬元.
(1)問該機器投入生產第幾年,工廠開始盈利(即總收入大于所有投人的費用)?
(2)由于機器使用年限越大維修等費用越高,所以工廠決定當年平均利潤最大時將該機器以5萬元低價處理,問使用該機器幾年后工廠年平均利潤最大?此時工廠獲得的總利潤為多少?
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【題目】隨著經濟模式的改變,微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內,每售出噸該商品可獲利潤萬元,未售出的商品,每噸虧損萬元.根據往年的銷售經驗,得到一個銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了噸該商品.現以(單位:噸,)表示下一個銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內經銷該商品獲得的利潤.
(1)將表示為的函數,求出該函數表達式;
(2)根據直方圖估計利潤不少于57萬元的概率;
(3)根據頻率分布直方圖,估計一個銷售季度內市場需求量的平均數與中位數的大。ūA舻叫迭c后一位).
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【題目】已知點是圓:上的一動點,點,點在線段上,且滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設曲線與軸的正半軸,軸的正半軸的交點分別為點,,斜率為的動直線交曲線于、兩點,其中點在第一象限,求四邊形面積的最大值.
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