Question

【題目】定義為個(gè)正數(shù)、、、的“均倒數(shù)”.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）令，問：是否存在正整數(shù)使得對(duì)一切恒成立，如存在，求出值，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意可得，利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得，并得出，由題意可得，解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）解法一：利用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，可求得數(shù)列的最大項(xiàng)，進(jìn)而可求得的值；

解法二：解不等式可求得正整數(shù)的值.

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，

由于數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，所以，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

也滿足，因此，對(duì)任意的，；

（2），

對(duì)一切恒成立，

所以，解之得或，

即的取值范圍是；

（3）解法一：，

由于，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，

即存在正整數(shù)使得對(duì)一切恒成立；

解法二：，

假設(shè)存在正整數(shù)使得，則為數(shù)列中的最大項(xiàng)，

由 得，解得，

又，，即存在正整數(shù)使得對(duì)一切恒成立