已知函數(shù)（，），．
（Ⅰ）證明：當時，對于任意不相等的兩個正實數(shù)、，均有成立；
（Ⅱ）記，若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）當時，對于任意不相等的兩個正實數(shù)、，均有成立，只需求出與的解析式，兩式作差得，判斷符號即可證明；（Ⅱ）記，若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍，首先求出的解析式，從而得，若它在上單調遞增，即它的導函數(shù)在上恒大于零，得恒成立，這是恒成立問題，只需把含有的放到不等式的一側，不含的放到不等式的另一側，即，轉化為求的最大值問題，可利用導數(shù)求出最大值，從而可得實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）證明： ，
，
，則  ①
，則，②
由①②知．
（Ⅱ），，
令，則在上單調遞增．
，則當時，恒成立，
即當時，恒成立．
令，則當時，，
故在上單調遞減，從而，
故．（14分）
考點：作差法證明不等式,函數(shù)的導數(shù)與單調性,導數(shù)與不等式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知關于的函數(shù)
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.若函數(shù)依次在處取到極值.
（1）求的取值范圍；
（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數(shù)， e＝2.718…，且函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數(shù)a的值；
(2)若存在x使不等式>成立，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)對于函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數(shù)x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)b，使得方程在區(qū)間上恰有兩個相異實數(shù)根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；
（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導函數(shù)是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù) 
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）若當時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若函數(shù)為定義域上的單調函數(shù),且存在區(qū)間(其中,使得當時, 的取值范圍恰為,則稱函數(shù)是上的正函數(shù),區(qū)間叫做函數(shù)的等域區(qū)間.
已知是上的正函數(shù)，求的等域區(qū)間；
試探求是否存在，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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