已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極值,并指出是極大值還是極小值;
(Ⅱ)若,求證:在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.
(Ⅰ)極小值;(Ⅱ)參考解析
解析試題分析:(Ⅰ)首先考慮定義域.再把代入求導.令導函數(shù)可求得極值點.再通過函數(shù)的單調性即可知道函數(shù)的極值.
(Ⅱ)由.在區(qū)間上,函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方,可轉化為在區(qū)間上恒成立的問題.從而令函數(shù)F(x)=.通過求導即可求得F(x)函數(shù)的最大值.從而可得結論.
試題解析:(Ⅰ)解由于函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞), 1分
當a=-1時,f′(x)=x- 2分
令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去), 3分
當x∈(0,1)時,f′(x)<0, 因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是單調遞減的, 4分
當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,因此函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是單調遞增的, 5分
則x=1是f(x)極小值點,
所以f(x)在x=1處取得極小值為f(1)= 6分
(Ⅱ)證明 設F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,
則F′(x)=x+-2x2=, 9分
當x>1時,F(xiàn)′(x)<0, 10分
故f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調遞減的, 11分
又F(1)=-<0, 12分
∴在區(qū)間[1,+∞)上,F(xiàn)(x)<0恒成立.即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)<g(x)恒成立.
因此,
當a=1時,在區(qū)間[1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)圖像的下方.13分
考點:1.函數(shù)的極值.2.對數(shù)函數(shù)的定義域.3.函數(shù)的恒成立問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),曲線通過點(0,2a+3),且在處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當bc取得最大值時,寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,若函數(shù)g(x)為偶函數(shù),且當時,,求當時g(x)的表達式,并求函數(shù)g(x)在R上的最小值及相應的x值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在實數(shù)集R上定義運算:
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在R上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,在的曲線上是否存在兩點,使得過這兩點的切線互相垂直?若存在,求出切線方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(,),.
(Ⅰ)證明:當時,對于任意不相等的兩個正實數(shù)、,均有成立;
(Ⅱ)記,若在上單調遞增,求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設函數(shù),,與是否存在“分界線”?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當時,如果函數(shù)僅有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,試比較與1的大小;
(3)求證:
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