設函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2處取得極值,且|x1-x2|=2.
(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若a>0,求b的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)由題意f(x)=ax
3+bx
2-3a
2x+1=x
3+bx
2-3x+1,求出其導數(shù)f'(x)=3x
2+2bx-3,令f′(x)=0,求出極值點x=x
1,x=x
2利用|x
1-x
2|=2求出b值,并求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)不知a值,只知a>0,由題意知x
1,x
2為方程3x
2+2bx-3a
2=0的兩根,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/0.png)
=2,求出a的范圍,因g(a)=9a
2-9a
3,求出g(a)的單調區(qū)間,從而求出a與b的關系,最后根據(jù)a的范圍確定b的范圍.
解答:解:f'(x)=3ax
2+2bx-3a
2.①(2分)
(Ⅰ)當a=1時,f'(x)=3x
2+2bx-3;
由題意知x
1,x
2為方程3x
2+2bx-3=0的兩根,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/1.png)
.
由|x
1-x
2|=2,得b=0.(4分)
從而f(x)=x
2-3x+1,f'(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1).
當x∈(-1,1)時,f'(x)<0;當x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,f'(x)>0.
故f(x)在(-1,1)單調遞減,在(-∞,-1),(1,+∞)單調遞增.(6分)
(Ⅱ)由①式及題意知x
1,x
2為方程3x
2+2bx-3a
2=0的兩根,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/2.png)
.從而|x
1-x
2|=2?b
2=9a
2(1-a),
由上式及題設知0<a≤1.(8分)
考慮g(a)=9a
2-9a
3,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/3.png)
.(10分)
故g(a)在
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單調遞增,在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/5.png)
單調遞減,從而g(a)在(0,1]的極大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/6.png)
.
又g(a)在(0,1]上只有一個極值,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/7.png)
為g(a)在(0,1]上的最大值,且最小值為g(1)=0.所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/8.png)
,即b的取值范圍為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214450768442679/SYS201310232144507684426016_DA/9.png)
.(14分)
點評:本小題主要考查函數(shù)的導數(shù),單調性、極值,最值等基礎知識,考查綜合利用導數(shù)研究函數(shù)的有關性質的能力.