Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=2，AB=2AA₁=2

3

，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)，E為AC₁上的一點(diǎn)，且EC₁=2A₁E．
（1）求證平面AEB⊥平面B₁FC₁
（2）當(dāng)點(diǎn)F位于BC何處時(shí)，C₁F∥平面AEB？并求出此時(shí)三棱錐C₁-B₁EF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，證明AB⊥平面BB₁C₁C，然后，得到結(jié)論；
（2）可以取B₁C₁的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，從而得EH⊥平面BB₁C₁C，最后，結(jié)合體積公式求解．

解答： （1）證明：在△ABC中，∵AC=4，BC=2，AB=2AA₁=2

3

，
∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB₁C₁C，
即平面AEB⊥平面B₁FC₁．…（7分）
（2）解：如圖
在B₁C₁上取點(diǎn)H，使HC₁=2B₁H，連結(jié)EH，
則EH∥AB且EH=

2

3

AB=

4 3

3

，
要使C₁F∥平面AEB，只要C₁F∥HB，
所以只要BF=2FC即可；
由（1）AB⊥平面BB₁C₁C，
∴EH⊥平面BB₁C₁C，且EH=

2

3

AB=

4 3

3

，
∴VC1-B1EF=V_E-B1C1F=

1

3

S_△B1C1F•EH=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×

4 3

3

=

8

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間中平面和平垂直的判定定理、空間幾何體的體積計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．