設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數(shù),若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:f(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
<0
,得f(x)在(a-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù).由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
解答: 解:令f(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
<0
,
考慮到f(x)的定義域為(0,+∞),
故a>0,進(jìn)而解得x>a-1,
即f(x)在(a-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).
同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù).
由于f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),
故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),從而a-1≤1,即a≥1.
令g'(x)=ex-a=0,得x=lna.
當(dāng)x<lna時,g′(x)<0;當(dāng)x>lna時,g′(x)>0.
又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以lna>1,
即a>e.綜上,有a∈(e,+∞).
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a=30.8,b=31.2,c=3,則(  )
A、a>b>c
B、a>c>b
C、b>c>a
D、b>a>c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,則m的值為( 。
A、-4B、0C、3D、-4或3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x3-3x+3
(1)求函數(shù)的極大值與極小值
(2)求函數(shù)在[0,2]上的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某種商品進(jìn)貨單價為40元,按零售價每個50元售出,能賣出500個.根據(jù)經(jīng)驗如果每個在進(jìn)價的基礎(chǔ)上漲1元,其銷售量就減少10個,問每個零售價多少元時?銷售這批貨物能取得最大利潤?最大利潤是多少元?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(2sin(ωx+
π
3
),1),
n
=(2cosωx,-
3
),(ω>0),函數(shù)f(x)=
m
n
的兩條相鄰對稱軸間的距離為
π
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-
π
3
,
π
6
]時,求f(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x
ex(a>0),g(x)=[a(x-1)]ex-f(x).
(1)當(dāng)a=1時?x∈(0,+∞)都有g(shù)(x)≥1成立,求b的最大值;  
(2)當(dāng)?x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求
b
a
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理科)已知二元一次不等式組
x+y-5≤0
0≤y≤2
x≥1

(1)在圖中畫出不等式組表示的平面區(qū)域.
(2)求所表示的平面區(qū)域的面積
(3)若z=2x+y,求z的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某地區(qū)電力成本為0.3元/kw•h,上年度居民用電單價為0.8元/kw•h,用電總量為akw•h(a為正常數(shù)),本年度計劃將居民用電單價適當(dāng)下調(diào),且下調(diào)后單價不低于0.5元/kw•h,不高于0.7元/kw•h.經(jīng)測算,若將居民用電單價下調(diào)為x元/kw•h,則本年度居民用電總量比上年度增加
0.2a
x-0.4
kw•h.
(Ⅰ)當(dāng)用電單價下調(diào)為多少時,電力部門本年度的收益最低?(精確到0.01元/kw•h,參考數(shù)據(jù):
2
≈1.414)
(Ⅱ)若保證電力部門本年度的收益比上年度增長20%以上,求下調(diào)用電單價的定價范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案