Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是6與的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,.

【解析】

試題分析：(1)解法一:根據(jù)是與的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到,當(dāng)時(shí)有,-得:,從而可得數(shù)列通項(xiàng)；解法二:根據(jù)是與的等差中項(xiàng),利用等差中項(xiàng)得到,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進(jìn)而利用得到數(shù)列的通項(xiàng)；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項(xiàng)和,代入化簡,討論的奇偶發(fā)現(xiàn),為奇數(shù)時(shí),恒成立；為偶數(shù)時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).

試題解析：（1）解法一：因?yàn)?/span>是6與的等差中項(xiàng)，

所以，即，

當(dāng)時(shí)有

得，即對都成立

又根據(jù)有即，所以

所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.

解法二：因?yàn)?/span>是6與的等差中項(xiàng)

所以，即，

由此得，

又，所以，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

得，即，

所以，當(dāng)時(shí)，，

又時(shí)，也適合上式，所以.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，

數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，

所以其前項(xiàng)和為.

原問題等價(jià)于恒成立.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式左邊恒為負(fù)數(shù)，右邊恒為正數(shù)，所以對任意正整數(shù)不等式恒成立；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于恒成立，

令，有，則等價(jià)于在恒成立，

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，二次函數(shù)的對稱軸顯然在軸左側(cè)，

所以當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為增函數(shù)，故只須，解得，，所以存在符合要求的正整數(shù)，且最大值為11.