Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上具有單調(diào)性，且f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

6

），則f（x）的最小正周期為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，可知x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

為f（x）=sin（ωx+φ）的一條對(duì)稱(chēng)軸，且（

π 6 + π 2

2

，0）即（

π

3

，0）為f（x）=sin（ωx+φ）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，從而可得

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

3

，繼而可求得f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上具有單調(diào)性，ω＞0，
∴

π

2

-

π

6

≤

1

2

T=

1

2

•

2π

ω

=

π

ω

，即

π

3

≤

π

ω

，
∴0＜ω≤3；
又f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

6

），
∴x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

為f（x）=sin（ωx+φ）的一條對(duì)稱(chēng)軸，且（

π 6 + π 2

2

，0）即（

π

3

，0）為f（x）=sin（ωx+φ）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，
依題意知，x=

7π

12

與（

π

3

，0）為同一周期里面相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心，
∴

1

4

T=

1

4

•

2π

ω

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
解得：ω=2∈（0，3]，
∴T=

2π

2

=π，
故答案為：π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，確定x=

7π

12

與（

π

3

，0）為同一周期里面相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于難題．