Question

已知數(shù)列{a_n}中，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，并且S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*），a₁=1
（1）b_n=a_n+1-2a_n （n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列c_n=

an

2n

（n∈N^*）求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)已知條件S_n+1=4a_n+2得到S_n+2=4a_n+1+2，作差整理即可得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）直接根據(jù)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出a_n+1-2a_n 的表達(dá)式；再代入數(shù)列{c_n}的作差式，整理即可得到結(jié)論．
（3）先根據(jù)數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列得到的通項(xiàng)得到a_n=（3n-1）2^n-2；再結(jié)合S_n+1=4a_n+2 即可求出結(jié)論數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）由S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*）知，S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減得a_n+2=4a_n+1-4a_n
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），又b_n=a_n+1-2a_n所以b_n+1=2b_n…①
已知S₂=4a₁+2，a₁=1解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3     …②
由①②得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，∴b_n=3•2^n-1．…（4分）
（2）∵b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1．…
∵c_n=

an

2n

（n∈N^*），
∴c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

．
又c₁=

a1

2

=

1

2

，
故數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公差是

3

4

的等差數(shù)列，
∴c_n=

3

4

n-

1

4

…（8分）
（3）∵c_n=

an

2n

（n∈N^*） 
又c_n=

3

4

n-

1

4

∴a_n=（3n-1）2^n-2…（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）2^n-1+2；
當(dāng)n=1時(shí)S₁=a₁=1也適合上式，
所以{a_n}的前n項(xiàng)為S_n=（3n-4）2^n-1+2…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考察數(shù)列的求和以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的確定．解決本題的關(guān)鍵在于由S_n+1=4a_n+2 得到S_n+2=4a_n+1+2，進(jìn)而作差整理得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．