Question

如圖，已知圓E ，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（1）求動點Q的軌跡的方程；

（2）點，，點G是軌跡上的一個動點，直線AG與直線相交于點D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關系，并證明你的結論．

 

 

Answer 1

（1）點Q的軌跡的方程為為．（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．

【解析】

試題分析：（1）連結QF，由于線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據(jù)橢圓的定義知，動點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）直線與圓的位置關系一般通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系來確定． 由題意，設直線AG的方程為，則點D坐標為，由此可得圓心和半徑.下面用k表示點G的坐標，求出直線GF方程為，進而求到圓心到直線GF的距離便可知道以BD為直徑的圓與直線GF的位置關系．

（1）連結QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，

則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓． .2分

設其方程為，可知，，則， ..3分

所以點Q的軌跡的方程為為． 4分

（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 5分

由題意，設直線AG的方程為，則點D坐標為，BD的中點H的坐標為．

聯(lián)立方程組消去y得，

設，則，

所以，， 7分

當時，點G的坐標為，點D的坐標為.

直線GF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓與直線GF相切． 9分

當時，則直線GF的斜率為，則直線GF方程為，

點H到直線GF的距離，又，

所以圓心H到直線GF的距離，此時，以BD為直徑的圓與直線GF相切．

綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 13分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關系；3、最值問題.