【題目】已知拋物線,
為拋物線
上的點,若直線
經(jīng)過點
且斜率為
,則稱直線
為點
的“特征直線”.設(shè)
、
為方程
(
)的兩個實根,記
.
(1)求點的“特征直線”
的方程;
(2)已知點在拋物線
上,點
的“特征直線”與雙曲線
經(jīng)過二、四象限的漸進(jìn)線垂直,且與
軸的交于點
,點
為線段
上的點.求證:
;
(3)已知、
是拋物線
上異于原點的兩個不同的點,點
、
的“特征直線”分別為
、
,直線
、
相交于點
,且與
軸分別交于點
、
.求證:點
在線段
上的充要條件為
(其中
為點
的橫坐標(biāo)).
【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)計算的斜率為1,再計算直線方程得到答案.
(2)根據(jù)與漸近線垂直得到,線段
的方程為
,得到
,代入方程得到
,
,計算得到
.
(3))設(shè),
,得到
所對應(yīng)的方程為:
計算得到
,分別證明充分性和必要性得到答案.
(1)由題意的斜率為1,所以點
的“特征直線”
的方程為
.
(2)設(shè)點,由于雙曲線
所求漸進(jìn)線的斜率為
所以,進(jìn)而得
,線段
的方程為
所以滿足
所對應(yīng)方程為:
,解得
,
因為,所以
,進(jìn)而
(3)設(shè),
,
則、
的方程分別為
,
,
解、
交點可得
,
,
所對應(yīng)的方程為:
,
必要性:因為點在線段
上
當(dāng)時,
,得
,
當(dāng)時,
,得
,
所以,進(jìn)而
①充分性:由,得
,
當(dāng)時,
,得
,
當(dāng)時,得
,得
,
所以點在線段
上.
綜上所述:點在線段
上的充要條件為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線,直線
經(jīng)過點
與
相交于
、
兩點.
(1)若且
,求證:
必為
的焦點;
(2)設(shè),若點
在
上,且
的最大值為
,求
的值;
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點,若
,直線
的一個法向量為
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線,
,則下面結(jié)論正確的是( )
A.把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個單位長度,得到曲線
B.把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移
個單位長度,得到曲線
C.把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個單位長度,得到曲線
D.把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移
個單位長度,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐中,
平面
,底面
是正方形,
.
(1)求異面直線與
所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)求點、
分別是棱
和
的中點,求證:
平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種游戲中,黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A出發(fā)沿棱向前爬行,每爬完一條棱稱為“爬完一段”.黑“電子狗”爬行的路線是AA1→A1D1→ ,黃“電子狗”爬行的路線是AB→BB1→ ,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完2015段、黃“電子狗”爬完2014段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、黃“電子狗”間的距離是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個有窮數(shù)列每相鄰兩項之間添加一項,使其等于兩相鄰項的和,我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴展”. 已知數(shù)列1,2. 第一次“H擴展”后得到1,3,2;第二次“H擴展”后得到1,4,3,5,2; 那么第10次“H擴展”后得到的數(shù)列的所有項的和為( )
A.88572B.88575C.29523D.29526
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:
(
)的右焦點為
,短軸的一個端點
到
的距離等于焦距.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)、
是四條直線
,
所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個頂點,
是橢圓
上任意一點,若
,求證:
為定值;
(3)過點的直線
與橢圓
交于不同的兩點
、
,且滿足△
與△
的面積的比值為
,求直線
的方程.
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