Question

【題目】試求出最小的正整數(shù)，使得同時滿足：

（1）（對表示不大于的最大整數(shù)）；

（2）被190除所得的余數(shù)為11.

Answer 1

【答案】

【解析】

由條件（1）可知.

否則，若，則有，這與條件（1）矛盾.故必有.

令（為正整數(shù)）代入條件（1）中的不等式得

，

即. ①

由于為嚴(yán)格遞增函數(shù)，而滿足式①，不滿足式①，

所以，式①的解為.從而條件（1）中不等式的解為.

又因99與190互質(zhì)，所以，由歐拉定理得，

即. ②

引理：若，是正整數(shù)，而是最小的正整數(shù)，使得，則必有.

引理的證明：顯然（由的最小性）.

記（，，且）.

由及，得，

即.

再由為正整數(shù)且為最小者及，知只有.于是，有，即.

回到原題.

由式②及引理知.所以，.

下面求的值.

注意到，，

，，

，，

，，

所以，.

現(xiàn)有，而，且99與190互質(zhì)，所以有.

由及上述引理，得，即.

再由，得.于是，，.

故所求的最小正整數(shù).