Question

       已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時，若對于任意，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵

∴，                      …………………2分

∵的圖象在處的切線與直線垂直，

∴，可得.                  …………………4分

（2）由（1），

令，可得，或，

所以當(dāng)時，在R上恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增； …………………6分

當(dāng)時，，在上，單調(diào)遞增，

在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，在上，單調(diào)遞增，

在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增；………………8分

（3）當(dāng)時，，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，而，所以在上取得最小值，原命題等價于不等式在恒成立，  …………………10分

即：在恒成立，只需，

令，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

而，所以，        …………………12分

所以.                                    …………………13分