Question

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．

在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn).若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】(1); 線的直角坐標(biāo)方程為;(2).

【解析】試題分析：（1）直線的參數(shù)方程中的參數(shù)為，所以消得到直線的普通方程；根據(jù)，，極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)為曲線的普通方程；（2）根據(jù)直線過(guò)點(diǎn),可知直線的傾斜角，代入直線的參數(shù)方程，得到，代入曲線的極坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)的幾何意義可知.

試題解析：（1）∵直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

∴直線的普通方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由，得，即，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）∵點(diǎn)的極坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴，直線的傾斜角．

∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

代入，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為．

∵為線段的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為．

又點(diǎn)，則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分