Question

【題目】如圖，圓： ．

（1）若圓與軸相切，求圓的方程；

（2）求圓心的軌跡方程；

（3）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．過點(diǎn)任作一條直線與圓： 相交于兩點(diǎn)．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在，使得

【解析】試題分析： 在圓的方程中，令，可得關(guān)于的一元二次方程的判別式等于零，由此求得的值，從而求得所求圓的方程。

(2)消去圓心坐標(biāo)中的參數(shù)即可先求出，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，利用韋達(dá)定理，根據(jù)的斜率之和等于零求得的值，經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，這個(gè)值仍然滿足從而得出結(jié)論

解析：（1）由圓與軸相切，可知圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值與半徑相等.故先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，由求得.即可得到所求圓的方程為： ；

（2）求圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，則 圓心點(diǎn)的軌跡方程為

（3）令，得，即所以

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，

代入得， ，設(shè)從而

因?yàn)?/span>

而

因?yàn)?/span>，所以，即，得．

當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，也成立．故存在，使得