Question

【題目】在任何個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中,使得必有一數(shù)其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)成立的最小的正整數(shù)______.

Answer 1

【答案】13

【解析】

注意到,12個(gè)連續(xù)正整數(shù)994,995,…,1005中任一數(shù)的各位數(shù)字之和均不是7的倍數(shù)

因此,.

對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù),稱如下10個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合

為一個(gè)“基本段”.

可見(jiàn),13個(gè)連續(xù)正整數(shù)要么屬于兩個(gè)基本段,要么屬于三個(gè)基本段.

當(dāng)13個(gè)連續(xù)數(shù)屬于兩個(gè)基本段時(shí),由抽屜原理,知其中必有連續(xù)的七個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)基本段：當(dāng)13個(gè)連續(xù)數(shù)屬于三個(gè)基本段時(shí),其中必有連續(xù)十個(gè)數(shù)同屬于.

設(shè),,…, 是屬于同一基本段的七個(gè)數(shù),其各位數(shù)字之和分別為.

顯然,這七個(gè)和數(shù)被7除的余數(shù)互不相同.故其中必有一個(gè)是7的倍數(shù).

因此,所求的最小值為.