Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= +c（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）= ，解f′（x）＞0，得x＜ ；解f′（x）＜0，得x＞ ．

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞， ）；單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，+∞）．

故f（x）在x= 取得最大值，且f（x）max= +c．

（Ⅱ）函數(shù)y=|lnx|，當(dāng)x＞0時(shí)的值域?yàn)閇0，+∞）．如圖所示：

①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，

c=﹣lnx﹣ =g（x），

則g′（x）=﹣ ．

令h（x）=e2x+x﹣2x2，則h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞增，

∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．

∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調(diào)遞減．

∴c≥g（1）=﹣ ．

②當(dāng)x≥1時(shí)，令v（x）=lnx﹣ ﹣c，得到c=lnx﹣ =m（x），

則m′（x）= ＞0，

故m（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴c≥m（1）=﹣ ．

綜上①②可知：當(dāng)c＜﹣ 時(shí)，方程|lnx|=f（x）無實(shí)數(shù)根；

當(dāng)c=﹣ 時(shí)，方程|lnx|=f（x）有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)c＞﹣ 時(shí)，方程|lnx|=f（x）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意分析f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論f′（x）的正負(fù)情況即可得到函數(shù)的單調(diào)性與最值。(2)由題意轉(zhuǎn)化問題為已知函數(shù)在[0，+∞）上的根的情況，逐一討論去掉絕對(duì)值符號(hào)再分析導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，通過單調(diào)區(qū)間和極值判斷各種情況下的根的個(gè)數(shù)，然后求個(gè)情況的并集即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．