數(shù)列{an}中,a1=-
2
3
,其通項(xiàng)an滿足an=-
1
an-1+2
(n≥2)
(1)計(jì)算a1,a2,a3,a4;
(2)猜想an的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式
專題:綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)利用數(shù)列遞推式,代入計(jì)算可得結(jié)論;
(2)利用(1)的結(jié)論,猜想an的表達(dá)式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答: 解:(1)∵a1=-
2
3
,an=-
1
an-1+2
(n≥2),
∴a2=-
3
4
,a3=-
4
5
,a4=-
5
6
.             …3分
(2)由(1)可以猜想an=-
n+1
n+2
.                                    …4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
。┊(dāng)n=1時(shí),a1=-
2
3
,所以當(dāng)n=1時(shí)猜想成立.             …5分
ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即ak=-
k+1
k+2
,
當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=-
1
-
k+1
k+2
+2
=-
k+2
k+3

所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.
由。┖廷ⅲ┛芍,猜想對任意的n∈N*都成立.                   
所以an=-
n+1
n+2
.…8分
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)學(xué)歸納法,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,且AA1⊥底面ABC,D為CC1的中點(diǎn),AB1與A1B相交于點(diǎn)O,連結(jié)OD.
(1)求證:OD∥平面ABC;
(2)求證:AB1⊥平面A1BD.

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如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC=2
3
,點(diǎn)D在BC邊上,∠ADC=45°,則AD的長度等于多少?

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已知
1
a
,
1
b
1
c
構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列,求證:a,b,c不能構(gòu)成等差數(shù)列.

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已知無窮等比數(shù)列{an}所有奇數(shù)項(xiàng)的和為36,偶數(shù)項(xiàng)的和為12,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比.

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已知函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x-1,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若x∈[0,
π
2
],求f(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),直線AO交拋物線準(zhǔn)線于C點(diǎn).
(1)求證:BC⊥y軸;
(2)求|AB|+|BC|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的定義域
(Ⅰ)f(x)=
x-2
x-3
+log3(4-x);
(Ⅱ)f(x)=
1-(
1
3
)x
-
log2x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,為了測量點(diǎn)A與河流對岸點(diǎn)B之間的距離,在點(diǎn)A同側(cè)選取點(diǎn)C,若測得AC=40米,∠BAC=75°,∠ACB=60°,則點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離等于
 
米.

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