已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，點P是三條邊上的任意一點，m=
PA
•
PB
，則m的最小值是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：由已知條件得△ABC為直角三角形，當P點和A，B，C三點重合時，容易求出m=0．當P點在BC邊上，且不與B，C重合時，設
PB
=x
CB
，
PA
=
PB
+
BA
=x
CB
+
CA
-
CB
=(x-1)
CB
+
CA
，所以m=
PA
•
PB
=x
CB
•[(x-1)
CB
+
CA
]=9x(x-1)=9[(x-
1
2
)2-
1
4
]≥-
9
4
，即此時m的最小值是-
9
4
，用同樣的方法求P點在另外兩邊時m的最小值，找出最小的m即可．
解答： 解：由三條邊的長度知，△ABC為直角三角形，如圖所示，容易求得當P點在A，B，C三點時，m=
PA
•
PB
=0；
當點P在B，C點之間時，設
PB
=x
CB
，
PA
=
PB
+
BA
=x
CB
+
CA
-
CB
=(x-1)
CB
+
CA
；
∴m=
PA
•
PB
=x
CB
•[(x-1)
CB
+
CA
]=x(x-1)
CB
2=9[(x-
1
2
)2-
1
4
]≥-
1
4
；
當點P在點A，C之間時，設
PA
=x
CA
，
PB
=
PA
+
AB
=x
CA
+
CB
-
CA
=(x-1)
CA
+
CB
；
∴m=
PA
•
PB
=x
CA
•[(x-1)
CA
+
CB
]=x(x-1)
CA
2=16[(x-
1
2
)2-
1
4
]≥-4；
當點P在點A，B之間時，設
PA
=x
BA
，則
PB
=-(1-x)
BA
；
∴m=
PA
•
PB
=x(x-1)
BA
2=25[(x-
1
2
)2-
1
4
]≥-
25
4
；
綜上得m的最小值為-
25
4
．
故答案為：-
25
4
．
點評：考查兩向量垂直時，數(shù)量積為0，共線向量基本定理，向量的加法，向量的減法，配方法求二次函數(shù)的最小值．
練習冊系列答案
相關習題

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已知集合A={x|mx2+2x+3=0}中有且只有一個元素，則m的取值集合為
 
．

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若函數(shù)y=x-2的值域為[-3，2]，則它的定義域為（　�。�
A、{x|x≤0}
B、{x|x≤-1}
C、（-1，0）
D、[-1，4]

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設a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：
a+c-b
b
+
a+b-c
c
+
b+c-a
a
＞3．

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在直二面角α-l-β的棱l上取一點A、過A分別在α，β內(nèi)A的同側(cè)作與l成45°的直線，則這兩條直線所夾的角為（　�。�
A、45°B、60°
C、90°D、120°

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已知雙曲線C：
x2
3
-
y2
2
=1以C的右焦點為圓心，且與C的漸近線相切的圓的半徑是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的方程|
x(|x+3|-3)
2-x2
+2a|=a2-3有奇數(shù)個解，則a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：若（x-1）（x-2）≠0，則x≠1或x≠2；命題q：存在實數(shù)x0，使2x0＜0．下列選項中為真命題的是（　�。�
A、pB、￢qC、p∨qD、q∧p

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，AB=
2
，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，DE⊥PA．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDE．

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