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18.設(shè)實數(shù)x,y滿足x+y4=1.
(1)若|7-y|<2x+3,求x的取值范圍;
(2)若x>0,y>0,求證:xy≥xy.

分析 (1)根據(jù)題意,由x+y4=1,則y=4-4x,則|7-y|<2x+3,可得|4x+3|<2x+3,解可得x的范圍,即可得答案;
(2)根據(jù)題意,由基本不等式可得1=x+y4≥2xy4=xy,即xy≤1,用作差法分析可得xy-xy=xy(1-xy),結(jié)合xy的范圍,可得xy-xy≥0,即可得證明.

解答 解:(1)根據(jù)題意,若x+y4=1,則4x+y=4,即y=4-4x,
則由|7-y|<2x+3,可得|4x+3|<2x+3,
即-(2x+3)<4x+3<2x+3,
解可得-1<x<0;
(2)證明:x>0,y>0,1=x+y4≥2xy4=xy,即xy≤1,
xy-xy=xy(1-xy),
又由0<xy≤1,則xy-xy=xy(1-xy)≥0,
xy≥xy.

點評 本題考查基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵是利用x+y4=1分析變量x、y之間的關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
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