Question

已知雙曲線C的離心率為，且過點(diǎn)（4，-）
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上，求證：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)雙曲線C的離心率為，得出雙曲線為等軸雙曲線，從而設(shè)雙曲線C的方程為nx²-ny²=1利用雙曲線C過點(diǎn)（4，-）即可求出n的值，最后寫出雙曲線的方程即可．
（2）先根據(jù)點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上求出m值，由雙曲線的對稱性知，我們只需證明點(diǎn)M（3，） 滿足MF₁⊥MF₂即可，利用向量的數(shù)量積等于0即可證得MF₁⊥MF₂；
（3）利用（2）中的數(shù)據(jù)結(jié)合三角形的面積公式即可求得△F₁MF₂的面積．
解答：解：（1）∵雙曲線C的離心率為，
∴雙曲線為等軸雙曲線
∴設(shè)雙曲線C的方程為nx²-ny²=1
∵雙曲線C過點(diǎn)（4，-）
∴16n-10n=1∴n=
∴即為所求．
（2）∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上
∴m=
由雙曲線的對稱性知，我們只需證明點(diǎn)M（3，） 滿足MF₁⊥MF₂即可
∴-3，-），
）
∴=0，
∴MF₁⊥MF₂；
（3）
=•
=
=6．
點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、向量垂直的應(yīng)用、三角形的面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．