6.已知函數(shù)f(x)=|x|(x-a),a為實數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,2]為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a(a<0),使得f(x)在閉區(qū)間$[{-1,\frac{1}{2}}]$上的最大值為2,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)利用函數(shù)是奇函數(shù)定義,列出關(guān)系式,即可求出a的值;
(2)推出二次函數(shù)的性質(zhì),列出不等式求解即可.
(3)化簡函數(shù)為分段函數(shù),通過討論a的范圍,列出關(guān)系式求解即可.

解答 (本小題滿分16分)
解:(1)因為奇函數(shù)f(x)定義域為R,
所以f(-x)=-f(x)對任意x∈R恒成立,
即|-x|(-x-a)=-|x|(x-a),即|x|(-x-a+x-a)=0,
即2a|x|=0對任意x∈R恒成立,
所以a=0.…(4分)
(2)因為x∈[0,2],所以f(x)=x(x-a),…(5分)
顯然二次函數(shù)的對稱軸為$x=\frac{a}{2}$,由于函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
所以$\frac{a}{2}≤0$,
即a≤0(若分a<0,a=0,a>0三種情況討論他可)…(8分)
(3)∵a<0,$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x({x-a}),x≥0\\ x({a-x}),x<0\end{array}\right.$,
∴f(-1)=-1-a≤2,∴-a≤3(先用特殊值約束范圍)
∴$f({\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}({\frac{1}{2}-a})≤\frac{7}{4}<2$,f(x)在(0,+∞)上遞增,
∴f(x)必在區(qū)間[-1,0]上取最大值2.…(10分)
當$\frac{a}{2}<-1$,即a<-2時,則f(-1)=2,a=-3,成立…(12分)
當$\frac{a}{2}≥-1$,即0>a≥-2時,$f({\frac{a}{2}})=2$,則$a=±2\sqrt{2}$(舍)…(14分)
綜上,a=-3.…(16分)

點評 本題考查分段函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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