(2013•崇明縣二模)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制,會(huì)產(chǎn)生較多次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,次品數(shù)p(萬(wàn)件)與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間滿足關(guān)系:p=
x2
6
,(1≤x<4)
x+
3
x
-
25
12
,(x≥4)
.已知每生產(chǎn)l萬(wàn)件合格的元件可以盈利20萬(wàn)元,但每產(chǎn)生l萬(wàn)件次品將虧損10萬(wàn)元.(實(shí)際利潤(rùn)=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤(rùn)T(萬(wàn)元) 表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù);
(2)當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件) 定為多少時(shí)獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少?
分析:(1)根據(jù)題目條件寫出在x的不同范圍內(nèi)的合格的元件間數(shù),然后由實(shí)際利潤(rùn)=合格產(chǎn)品的盈利-生產(chǎn)次品的虧損將生產(chǎn)這種元件所獲得的實(shí)際利潤(rùn)T(萬(wàn)元) 表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù);
(2)分別利用配方法和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在連段內(nèi)的最值,最后取兩段的最大之中的最大者.
解答:解:(1)當(dāng)1≤x<4時(shí),合格的元件數(shù)為x-
x2
6
(萬(wàn)件),
利潤(rùn)T=20(x-
x2
6
)-10×
x2
6
=20x-5x2
(萬(wàn)元);
當(dāng)x≥4時(shí),合格的元件數(shù)為x-(x+
3
x
-
25
12
)=
25
12
-
3
x
(萬(wàn)件),
利潤(rùn)T=20(
25
12
-
3
x
)-10(x+
3
x
-
25
12
)=
125
2
-
90
x
-10x
(萬(wàn)元),
綜上,該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)為T=
20x-5x2,1≤x<4
125
2
-
90
x
-10x,x≥4

(2)當(dāng)1≤x<4時(shí),T=20x-5x2=-5(x-2)2+20
∴當(dāng)x=2(萬(wàn)件)時(shí),利潤(rùn)T的最大值20(萬(wàn)元);
當(dāng)x≥4時(shí),T=
125
2
-
90
x
-10x=
125
2
-(10x+
90
x
)

y=10x+
90
x
,則y=10-
90
x2
=
10(x+3)(x-3)
x2
,
當(dāng)x∈[4,+∞)時(shí),y>0,所以y=10x+
90
x
在[4,+∞)上是單調(diào)遞增,
所以函數(shù)T(x)在[4,+∞)上是減函數(shù),
則當(dāng)x=4時(shí),利潤(rùn)T的最大值0.      
綜上所述,當(dāng)日產(chǎn)量定為2(萬(wàn)件)時(shí),工廠可獲得最大利潤(rùn)20萬(wàn)元.
答:當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件) 定為2(萬(wàn)件)時(shí)獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為20萬(wàn)元.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用,考查了配方法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,注意分段函數(shù)的最值要分段求,此題是中檔題.
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1anan+1
,n∈N*,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(2)若對(duì)任意的n∈N*,不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
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