Question

【題目】設(shè)f（x）=x3+x，x∈R，當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（ ，+∞）
【解析】解：∵f（x）=x3+x，∴f（x）在R上遞增且為奇函數(shù)，
∴當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0等價(jià)為：
當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，f（mcosθ）＜﹣f（sinθ﹣2m）=f（2m﹣sinθ），
即mcosθ＜2m﹣sinθ，
即m（2﹣cosθ）＞sinθ
∵0≤θ≤π，∴2﹣cosθ＞0，
則不等式等價(jià)為m＞
設(shè)g（θ）= ，則g′（θ）= = ，
∵0≤θ≤π，
∴由g′（θ）=0得cosθ= ，即θ= ，
由g′（θ）＞0得cosθ＞ ，即0＜θ＜ ，
由g′（θ）＜0得cosθ＜ ，即 ＜θ＜π，
即當(dāng)θ= 時(shí)，g（θ）取得極大值g（ ）= = = ，
則m＞ ，
所以答案是：（ ，+∞）
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．