Question

【題目】已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．

（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)k=1時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)

時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn) ;當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)的解析式，然后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線平行求出的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，再由基本不等式表示其最小值，解方程即可得結(jié)果；（2）先根據(jù)（1）的內(nèi)容得到函數(shù)的解析式，即，然后先對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)等于0進(jìn)行討論，再當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0即為二次方程時(shí)，根據(jù)方程的判別式進(jìn)行討論即可得到答案.

試題解析：（1）依題可設(shè)，則，又的圖象與直線平行，，，，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得.

（2）由，得，當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，方程有二解，若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，即，若，

函數(shù)有兩零點(diǎn)，，即

當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)，，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn)，；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).