Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當a=2時，作出圖形并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a=-2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間的值域；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x-2|=，作出圖象，

由圖可知，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=x|x+2|=，

∵f（-1-）=--2（-1-）=-1，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間的值域為[-1，8]；
（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|=，函數(shù)f（x）有兩個零點：0和a，
若a＞0，在（-∞，）上單調(diào)遞增，在（，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
為使在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須0≤m＜，n≤a．
若a＜0，在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．
為使在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須m≥a，n≤0．
分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x-2|=，作出圖象即可寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=x|x+2|=，可求得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間的值域為[-1，8]；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，f（x）=x|x-a|=，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，須m＜，n＞a．
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，著重考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想的綜合運用，屬于難題．