解:(Ⅰ)當a=2時,f(x)=x|x-2|=
,作出圖象,
由圖可知,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);
(Ⅱ)當a=-2時,f(x)=x|x+2|=
,
∵f(-1-
)=-
-2(-1-
)=-1,f(-1)=(-1)
2+2×(-1)=-1,f(2)=4+4=8,
∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間
的值域為[-1,8];
(Ⅲ)∵a≠0,f(x)=x|x-a|=
,函數(shù)f(x)有兩個零點:0和a,
若a>0,在(-∞,
)上單調(diào)遞增,在(
,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
為使在區(qū)間(m,n)上既有最大值又有最小值,必須0≤m<
,n≤
a.
若a<0,在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,
)上單調(diào)遞減,在(
,+∞)上單調(diào)遞增.
為使在區(qū)間(m,n)上既有最大值又有最小值,必須m≥
a,n≤0.
分析:(Ⅰ)當a=2時,f(x)=x|x-2|=
,作出圖象即可寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當a=-2時,f(x)=x|x+2|=
,可求得函數(shù)y=f(x)在區(qū)間
的值域為[-1,8];
(Ⅲ)設(shè)a≠0,f(x)=x|x-a|=
,函數(shù)f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,須m<
,n>a.
點評:本題考查帶絕對值的函數(shù),著重考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查函數(shù)的單調(diào)性,最值,考查化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想的綜合運用,屬于難題.