Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求證：平面A₁B₁B⊥平面ABC；
（2）求多面體DBC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出CD⊥AB，CD⊥DA₁，由此能證明平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）V多面體DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱錐A1-ADC，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：∵AC=BC，D為AB中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD?平面ABC，∴平面A₁B₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁，
∴V多面體DBC-A1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱錐A1-ADC
=S△ABC•|AA1|-

1

3

S△ADC•|AA1|
=S△ABC•|AA1|-

1

3

×

1

2

×S△ABC×|AA1|
=

5

6

 S△ABC•|AA1|
=

5

6

×

1

2

×2×2×2=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查多面體面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．