Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²，對(duì)任意的x∈[t，t+2]不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、[

  2

  ，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、（0，

  2

  ]
• D、[0，

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（

2

x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=x²
∴當(dāng)x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f(x)=

x2，x≥0 -x2，x＜0

，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足2f（x）=f（

2

x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（

2

x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥

2

x在[t，t+2]恒成立，
解得x≤（1+

2

）t在[t，t+2]恒成立，
∴t+2≤（1+

2

）t
解得：t≥

2

，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是：[

2

，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．