如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B為正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(Ⅰ)求證:BC∥平面AB1C1;
(Ⅱ)求證:B1C⊥AC1;
(Ⅲ)設(shè)點E,F(xiàn),H,G分別是B1C,AA1,A1B1,B1C1的中點,試判斷E,F(xiàn),H,G四點是否共面,并說明理由.
考點:平面與平面平行的性質(zhì),直線與平面平行的判定
專題:證明題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)由BC∥B1C1,證明BC∥平面AB1C1
(Ⅱ)先證明AB⊥平面BB1C1C,得AB⊥B1C,再證明B1C⊥平面ABC1,得出B1C⊥AC1;
(Ⅲ)E,F(xiàn),H,G四點不共面,通過證明點F∉平面EHG,即F∈平面AA1C1C,且平面AA1C1C∥平面EFH即可.
解答: 證明:(Ⅰ)在菱形BB1C1C中,BC∥B1C1,
因為BC?平面AB1C1,B1C1?平面AB1C1,
所以BC∥平面AB1C1;…(3分)
(Ⅱ)連接BC1,在正方形ABB1A1中,AB⊥BB1,
因為平面AA1B1B⊥平面BB1C1C,
平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,
AB?平面ABB1A1,
所以AB⊥平面BB1C1C;…(5分)
又因為B1C?平面BB1C1C,
所以AB⊥B1C;…(6分)
在菱形BB1C1C中,BC1⊥B1C;
因為BC1?平面ABC1,AB?平面ABC1,且BC1∩AB=B,
所以B1C⊥平面ABC1;…(8分)
因為AC1?平面ABC1,
所以B1C⊥AC1;…(10分)
(Ⅲ)E,F(xiàn),H,G四點不共面,理由如下;…(11分)
因為E,G分別是B1C,B1C1的中點,
所以GE∥CC1,
同理可證:GH∥C1A1;
因為GE?平面EHG,
GH?平面EHG,GE∩GH=G,
CC1?平面AA1C1C,A1C1?平面AA1C1C,
所以平面EHG∥平面AA1C1C;
又因為F∈平面AA1C1C,
所以F∉平面EHG,即E,F(xiàn),H,G四點不共面.…(14分)
點評:本題考查了空間中的平行與垂直的判斷與直線的應(yīng)用問題,也考查了判斷空間中的四點是否共面問題,是綜合性題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

命題“?x∈R+,lnx>0”的否定是( �。�
A、?x∈R+,lnx>0
B、?x∈R+,lnx≤0
C、?x∈R+,lnx>0
D、?x∈R+,lnx≥0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-1),其中,a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(3)已知b∈R,若函數(shù)f(x)≥b對任意x∈R都成立,求ab的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖正方形BCDE的邊長為a,已知AB=
3
BC,將△ABE沿BE邊折起,折起后A點在平面BCDE上的射影為D點,則翻折后的幾何體中有如下描述:
①AB與DE所成角的正切值是
2
;
②AB∥CE;
③VB-ACE的體積是
1
6
a2;
④平面ABC⊥平面ADC;
⑤直線EA與平面ADB所成角為30°.
其中正確的有
 
.(填寫你認(rèn)為正確的序號)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓心C在x軸上的圓過點A(2,2)和B(4,0).
(1)求圓C的方程;
(2)求過點M(4,6)且與圓C相切的直線方程;
(3)已知線段PQ的端點Q的坐標(biāo)為(3,5),端點P在圓C上運動,求線段PQ的中點N的軌跡.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一簡單幾何體ABCDE的一個面ABC內(nèi)接于圓O,G、H分別是AE、BC的中點,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,且DC⊥平面ABC.
(Ⅰ)證明:GH∥平面ACD;
(Ⅱ)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鐑芥嚄閼哥數浠氬┑掳鍊楁慨瀵告崲濮椻偓閻涱喛绠涘☉娆愭闂佽法鍣﹂幏锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾捐鈹戦悩鍙夋悙缂佺媭鍨堕弻銊╂偆閸屾稑顏�