Question

如圖正方形BCDE的邊長為a，已知AB=

3

BC，將△ABE沿BE邊折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：
①AB與DE所成角的正切值是

2

；
②AB∥CE；
③V_B-ACE的體積是

1

6

a²；
④平面ABC⊥平面ADC；
⑤直線EA與平面ADB所成角為30°．
其中正確的有

 

．（填寫你認為正確的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,空間中直線與直線之間的位置關系,平面與平面之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：①由于BC∥DE，則∠ABC（或其補角）為AB與DE所成角；
②AB和CE是異面直線；
③根據(jù)三棱錐的體積公式即可求V_B-ACE的體積；
④根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
⑤根據(jù)直線和平面所成角的定義進行求解即可．

解答： 解：由題意，AB=

3

BC，AE=

2

a，
AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=

2

a
①由于BC∥DE，∴∠ABC（或其補角）為AB與DE所成角
∵AB=

3

a，BC=a，AC=

2

a，
∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=

2

，故①正確；
②由圖象可知AB與CE是異面直線，故②錯誤．
③V_B-ACE的體積是

1

3

S_△BCE×AD=

1

3

×

1

2

a³=

1

6

a3，故③正確；
（4）∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，
∴AD⊥BC，∵BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥平面ADC，
∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正確；
⑤連接CE交BD于F，則EF⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BDE，
∴EF⊥平面ABD，連接F，
則∠AFE為直線AE與平面ABD所成角，
在△AFE中，EF=

2

2

a，AE=

2

a，
∴sin∠EAF=

EF

AF

=

1

2

，則∠EAF=30°，故⑤正確，
故正確的是①③④⑤
故答案為：①③④⑤

點評：本題考查圖形的翻折，考查空間線面位置關系，搞清翻折前后的變與不變是關鍵．綜合性較強，難度較大．