Question

如圖所示，已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，焦點分別是F₁（-2，0），且雙曲線經(jīng)過點P（2，3）．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點A是雙曲線的右頂點，若直線l平行于直線AP，且l與雙曲線交于M，N兩點，若|

AM

+

AN

|=4，試求直線l的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出雙曲線的方程，可得c=2，代入P的坐標(biāo)，再由a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到雙曲線方程；
（2）求出直線PA的斜率，設(shè)出直線l的方程y=3x+t，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，再由條件|

AM

+

AN

|=4，化簡即可得到t的方程，解得t，注意檢驗即可得到所求直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
則c=2，

4

a2

-

9

b2

=1，a²+b²=4，
解得，a=1，b=

3

．
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-

y2

3

=1；
（2）A（1，0），直線AP的斜率為

3

2-1

=3，
由直線l平行于直線AP，可設(shè)直線l：y=3x+t，
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得6x²+6tx+t²+3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則判別式36t²-24（t²+3）＞0，即有t²＞6．
x₁+x₂=-t，y₁+y₂=3（x₁+x₂）+2t=-t，
由|

AM

+

AN

|=4，得（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=16，
即（2+t）²+t²=16，即有t²+2t-6=0，
解得，t=-1±

7

．
由于（

7

-1）²＜6，則舍去；（-

7

-1）²＞6，滿足判別式大于0．
則有直線l的方程為y=3x-1-

7

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．