已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2an-n,n∈N*
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中數(shù)列{an},若數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+1)(n∈N*),在bk與bk+1之間插入2k-1(k∈N*)個(gè)2,得到一個(gè)新的數(shù)列{cn},試問:是否存在正整數(shù)m,使得數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和Tm=2013?如果存在,求出m的值;如果不存在,說明理由.
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)在數(shù)列遞推式中取n=n+1得到另一遞推式,作差后變形得到
an+1+1
an+1
=2
,即說明數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)直接由數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列寫出其通項(xiàng)公式,則可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入bn=log2(an+1),得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,由題意求得數(shù)列{cn}中,bk(含bk項(xiàng))前的所有項(xiàng)的和,然后求出使得數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和Tm=2013的m值.
解答: (Ⅰ)證明:由Sn=2an-n,得Sn+1=2an+1-(n+1),
∴an+1=2an+1-2an-1,an+1=2an+1,
則an+1+1=2(an+1),
an+1+1
an+1
=2

又當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-1,得a1=1,a1+1=2.
∴數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得an+1=(a1+1)2n-1=2n,故an=2n-1.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得bn=log22n,即bn=n(n∈N*).
數(shù)列{cn}中,bk(含bk項(xiàng))前的所有項(xiàng)的和是:
(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)2=
k(k+1)
2
+2k-2.
當(dāng)k=10時(shí),其和是55+210-2=1077<2013.
當(dāng)k=11時(shí),其和是66+211-2=2112>2013.
又∵2013-1077=936=468×2,是2的倍數(shù),
∴當(dāng)m=10+(1+2+22+…+28)+468=989時(shí),Tm=2013.
∴存在m=989,使得Tm=2013.
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,對于(Ⅲ)的理解是解答此題的關(guān)鍵,屬中高檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為( 。
A、6B、9C、16D、18

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的不等式|x-1|≤a-x.
(1)若a=2,解上述不等式;
(2)若上述的不等式有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知兩點(diǎn)A(0,
3
),B(0,-
3
).曲線G上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)使得直線PA、PB的斜率之積為3.
(Ⅰ)求G的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)C(0,-1)的直線與G相交于E、F兩點(diǎn),且
CE
=2
CF
,求直線EF的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

現(xiàn)對某市工薪階層關(guān)于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽調(diào)了50人,他們月收入的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表.
月收入(單位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)
頻數(shù)510151055
贊成人數(shù)4812521
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求下面2乘2列聯(lián)表中的a,b,c,d的值,并問是否有99%的把握認(rèn)為“月收入以5500為分界點(diǎn)對“樓市限購令”的態(tài)度有差異;
月收入低于55百元的人數(shù)月收入不低于55百元的人數(shù)合計(jì)
贊成a      b
不贊成       c      d
合計(jì) 50
(2)若對在[55,65)內(nèi)的被調(diào)查者中隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的2人中不贊成“樓市限購令”的人數(shù)為x,求x=1的概率.
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
  n=a+b+c+d
p(K2≥k)0.100.050.0250.0100.001
k2.7063.8415.0246.63510.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A是拋物線y=ax2(a>0)準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過A點(diǎn)作拋物線的切線l1,l2,切點(diǎn)為P,Q.
(1)證明:直線PQ過定點(diǎn);
(2)設(shè)PQ中點(diǎn)為M,求|AM|最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

i+i2+…+i2013=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=3,Sn和{an}滿足等式Sn+1=
n+1
n
Sn+n+1,
(1)求S2的值;
(2)求證:數(shù)列{
Sn
n
}是等差數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知p:x2-x-2≤0,q:|2x+m|>|x-m|,其中m<0
(1)若¬p為真,求x的取值范圍;
(2)若是¬p是q的充分不必要條件,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案